Силы тяготения. Гравитационное поле

СИЛЫ В МЕХАНИКЕ

Главные формулы

• Закон глобального тяготения

где F — сила обоюдного притяжения 2-ух вещественных точек; m1 и m2 — их массы; r — расстояние меж точками; G — гравита­ционная неизменная.

В написанной форме закон глобального тяготения можно приме­нять и к взаимодействию шаров, масса которых распределена сфери­чески-симметрично. В данном случае r есть расстояние меж Силы тяготения. Гравитационное поле центра­ми масс шаров.

• Напряженность гравитационного поля

где F — сила тяготения, действующая на вещественную точку массы m, помещенную в некую точку поля.

• Напряженность гравитационного поля, создаваемого плане­той, массу М которой можно считать распределенной сферически-симметрично,

где r — расстояние от центра планетки до интересующей нас точки поля, находящейся вне планетки Силы тяготения. Гравитационное поле.

• Ускорение свободного падения на высоте h над поверхно­стью Земли

где R — радиус Земли; g — ускорение свободного падения на по­верхности Земли. Если , то

• Возможная энергия гравитационного взаимодействия 2-ух вещественных точек массами m1 и m2 (шаров с массой, распре­деленной сферически симметрично), находящихся на расстоянии r друг от друга Силы тяготения. Гравитационное поле,

(Возможная энергия нескончаемо удаленных друг от друга ма­териальных точек принята равной нулю.)

• Потенциал гравитационного поля

где П — возможная энергия вещественной точки массой m, помещенной в данную точку поля.

• Потенциал гравитационного поля, создаваемого планеткой, массу М которой можно считать распределенной сферически-сим­метрично,

где r — расстояние от центра планетки до Силы тяготения. Гравитационное поле интересующей нас точки поля, находящейся вне планетки.

• Законы Кеплера.

1. Планетки движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор планетки в равные времена обрисовывает одинако­вые площади.

3. Квадраты периодов воззвания всех 2-ух планет относятся как кубы огромных полуосей их орбит:

Законы Кеплера справедливы также для движения Силы тяготения. Гравитационное поле спутников вокруг планетки.

• Относительная деформация при продольном растяжении либо сжатии тела

где ε — относительное удлинение (сжатие); x — абсолютное удли­нение (рис. 4.1); l — исходная длина тела.


Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы

Рис. 4.1 Рис. 4.2

где — относительный сдвиг; Δs — абсолютный сдвиг параллель­ных слоев тела относительно друг дружку (рис. 4.2); h — расстояние между- слоями Силы тяготения. Гравитационное поле; — угол сдвига. (Для малых углов )

• Напряжение обычное

где Fynp — упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела; S — площадь этого сечения.

Напряжение тангенциальное

где Fynp — упругая сила, действующая повдоль слоя тела; S — площадь этого слоя.

• Закон Гука для продольного растяжения либо сжатия

либо ,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — твердость); Е — модуль Юнга Силы тяготения. Гравитационное поле.

Закон Гука для сдвига

, либо ,

где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

• Момент, закручивающий на угол φ однородный круглый стер­жень,

,

где С — неизменная кручения.

• Работа, совершаемая при деформации тела,

• Возможная энергия растянутого либо сжатого стержня

, либо , либо ,
где V — объем тела.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти вторую галлактическую скорость υ2 ракеты, запущенной Силы тяготения. Гравитационное поле с поверхности Земли.

Примечание. 2-ой галлактической (либо параболической) скоростью υ2 именуется малая скорость, которую необходимо сказать телу, чтоб оно удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при всем этом сопротивление воздуха в расчет не принимается и подразумевается, что на тело действует только поле тяготения Земли).

Решение. При удалении тела массой т Силы тяготения. Гравитационное поле в бесконечность его возможная энергия растет за счет убыли кинетической энер­гии и в бесконечности добивается наибольшего значения, равного нулю. Согласно определению 2-ой галлактической скорости, кине­тическая энергия в бесконечности также равна нулю. Таким обра­зом, в бесконечности Т∞=0 и П∞ =0. В согласовании с законом сохранения энергии в механике

, либо ,

где М Силы тяготения. Гравитационное поле — масса Земли. Отсюда находим Преобразуем эту формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R:

Потому что (где g — ускорение свободного падения у
поверхности Земли), то

Подставив в эту формулу значения g и R и произведя вычисле­ния, получим

Пример 2. Ракета установлена на поверхности Земли для за­пуска в вертикальном направлении. При Силы тяготения. Гравитационное поле какой малой ско­рости υ1, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли ? Силами, не считая силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение. Чтоб найти наименьшую скорость V1 ра­кеты, нужно отыскать ее наименьшую кинетическую энергию T1. Для этого воспользуемся законом сохранения механической Силы тяготения. Гравитационное поле энергии. Этот закон производится для замкнутой системы тел, в какой дей­ствуют только ограниченные силы.

Систему ракета — Земля можно считать замкнутой. Единствен­ная сила, действующая на систему,— сила гравитационного взаи­модействия, являющаяся ограниченной.

В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему от­счета, потому что исключительно в таковой системе Силы тяготения. Гравитационное поле справедливы законы динами­ки и, а именно, законы сохранения. Понятно, что система отсчета, связанная с центром тяжести замкнутой системы тел, является инерциальной. В рассматриваемом случае центр тяжести системы ракета — Земля будет фактически совпадать с центром Земли, потому что масса М Земли много больше массы m ракеты. Как следует, систему отсчета Силы тяготения. Гравитационное поле, связанную с центром Земли, можно считать фактически инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии, запишем

(1)

где T1 и П1 — кинетическая и возможная энергия системы раке­та — Земля в исходном состоянии (на поверхности Земли); Т1 и П2 — те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли).

В избранной системе отсчета кинетическая энергия Силы тяготения. Гравитационное поле Земли равна
нулю. Потому T1 есть просто исходная кинетическая энергия
ракеты: . Возможная энергия системы в исходном
состоянии * .

По мере удаления ракеты от поверхно­сти Земли ее возможная энергия будет возрастать, а кинетиче­ская — убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия Т1 станет равной нулю, а возможная энергия П2 достигнет макси Силы тяготения. Гравитационное поле­мального значения:

Подставив значения T1, П1, T2 и П2 в выражение (1), получим

откуда после сокращения на m найдем

Заметив, что (g — ускорение свободного падения у по­верхности Земли), перепишем эту формулу в виде

что совпадает с выражением для первой галлактической скорости (см. пример 1). Подставив числовые значения величин и произведя вычисления, получим

Пример 3. Отыскать выражение для Силы тяготения. Гравитационное поле возможной энергии П гра­витационного взаимодействия Земли и тела массой m, находящегося на расстоянии r от центра Земли за пределами ее поверхности. По­строить график П(r).

Решение. Возможная энергия в поле ограниченных сил (гра-

витационные силы консервативны) связана с силой следую­щим соотношением:

* Возможная энергия гравитационного взаимодействия Силы тяготения. Гравитационное поле тел, беско­нечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю

где i, j, k — единичные векторы осей координат (орты); —личные производные возможной энергии по соот­ветствующим координатам. В случае, когда поле сил обладает сфе­рической симметрией, это выражение упрощается. Если ось х скооперировать с радиусом-вектором r, направленным по радиусу сферы Силы тяготения. Гравитационное поле,

то и обращаются в нуль тогда и . Потому что ве-­
кторы r и i совпадают (рис. 4.3) и П зави-­
сит только от r, то

(1)
Запишем в векторной форме закон все­ мирного тяготения:

Рис.4.3 (2)

где G — гравитационная неизменная; М — масса Земли.

Сравнивая выражения (1) и (2), найдем откуда

Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим

где Силы тяготения. Гравитационное поле С — неизменная интегрирования.

Приобретенное выражение указывает, что возможная энергия может быть определена только с точностью до некой произволь­ной неизменной.

1. Если принять потенциальную энергию нескончаемо удаленных друг от друга тел равной нулю, то неизменная С обращается в нуль. В данном случае запишем

Соответственная зависимость П(r) изображается графиком, представленным на рис Силы тяготения. Гравитационное поле. 4.4.

2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на

поверхности Земли, то тогда и

Но потому что r=R+h, где h — высота тела над поверхностью Земли, то

Если , то , либо, потому что ,

Пример 4. В гравитационном поле Земли тело массой m переме­щается из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Найти скорость v2 тела Силы тяготения. Гравитационное поле в точке 2, если в точке 1 его скорость

Ускорение свободного падения g считать известным.

Решение. Система те­ло — Земля является замкнутой, в какой действует

Рис. 4.5

Рис. 4.4

ограниченная сила — сила гравитационного взаимодействия. Потому можно пользоваться законом сохранения механической энергии (инерциальную систему отсчета свяжем с центром тяжести системы). Тогда можно записать

E1=E2, либо T1+П Силы тяготения. Гравитационное поле1=Т2+П2,

где T1, П1 и Т2 , П2 — соответственно кинетические и потенциальные
энергии в исходном 1 и конечном 2 состояниях. Заметим, что центр
масс системы тело — Земля фактически совпадает с центром тяжести
Земли , и потому кинетическая энергия Земли в исходном
и конечном состояниях равна нулю. Тогда

Подставив эти выражения в (1), получим

Заменив и произведя сокращения Силы тяготения. Гравитационное поле, найдем
+ , откуда

Потому что (по условию задачки), то

Произведя вычисления, получим

Пример 5. Вычислить работу А12 сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой m=10 кг из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Радиус R земли и ускорение g свободного падения поблизости поверхности Земли считать известными.

Решение. Для решения задачки воспользуемся соотношением меж работой А и Силы тяготения. Гравитационное поле конфигурацией ΔП возможной энергии. Потому что силы системы — гравитационные — относятся к силам консерва­тивным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциаль­ной энергии, т. е.

(1)

где П1 и П2 — потенциальные энергии системы тело — Земля соот­ветственно в исходном и конечном ее состояниях.

Условимся, что возможная энергия взаимодействия Силы тяготения. Гравитационное поле тела и Земли равна нулю, когда тело находится на нескончаемо большенном расстоянии от Земли, тогда на расстоянии r возможная энергия

выразится равенством , где М — масса Земли.

Для расстояний r1=3R и r2=2R, данных в критериях задачки (рис. 4.5), получим два выражения возможной энергии:

Подставив эти выражения П Силы тяготения. Гравитационное поле1 и П2 в формулу (1), получим

Заметив, что , преобразуем последнее выражение к
виду

Подставив значения т, g, R в это выражение и произведя вычисления, найдем

Пример 6. Верхний конец железного стержня длиной l = 5 м с площадью поперечного сечения S = 4 см2 закреплен бездвижно, к нижнему подвешен груз массой т = 2-103 кг. Найти: 1) нор­мальное напряжение а материала стержня Силы тяготения. Гравитационное поле; 2) абсолютное х и относительное ε удлинения стержня; 3) потенциальную энергию П растянутого стержня.

Решение. 1. Обычное напряжение материала растяну­того стержня выражается формулой σ=F/S, где F — сила, дейст­вующая повдоль оси стержня. В этом случае F равна силе тяжести mg и потому можем записать

Сделав вычисления, найдем

2. Абсолютное удлинение выражается формулой

где Е Силы тяготения. Гравитационное поле — модуль Юнга.

Подставив значения величин F, l, S и Е в эту формулу (значе­ние E взять из табл. 11) и произведя вычисления, получим

Относительное удлинение стержня

3. Возможная энергия растянутого стержня ,
где V — объем тела, равный S×l. Потому

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

N=12,1 Дж.

Пример 7. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально ввысь Силы тяготения. Гравитационное поле. Найти высоту h, на которую подымается пуля массой m = 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была сжата перед выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Система пуля — Земля (вкупе с пистолетом) яв­ляется замкнутой системой, в какой действуют ограниченные силы — силы упругости и силы тяготения. Потому Силы тяготения. Гравитационное поле для решения задачки можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, полная механическая энергия Е1 системы в исходном состоянии (в этом случае перед выстрелом) равна полной энергии Е2 в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

E1=E2 , либо T1+П1=T2+П2, (1)
где T Силы тяготения. Гравитационное поле1 и T2 — кинетические энергии системы в исходном и конеч-­
ном состояниях; П1 и П2— потенциальные энергии в тех же состоя­-
ниях.

Потому что кинетические энергии пули в исходном и конечном со­стояниях равны нулю, то равенство (1) воспримет вид

П1= П2. (2)

Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее по Силы тяготения. Гравитационное поле­верхность принять равной нулю, то энергия системы в исходном состоянии равна возможной энергии сжатой пружины, т. е.

, а в конечном состоянии — возможной энергий пули на высоте Л, т. е.

Подставив приведенные выражения П1 и П2 в формулу (2), найдем

Произведя вычисления по последней формуле, получим h=5 м.

Задачки

Силы тяготения. Гравитационное поле

4.1. Центры Силы тяготения. Гравитационное поле масс 2-ух схожих однородных шаров находятся на расстоянии r = 1 м друг от друга. Масса m каждого шара равна 1 кг. Найти силу F гравитационного взаимодействия шаров.

4.2. Как велика сила F обоюдного притяжения 2-ух галлактических кораблей массой m = 10т каждый, если они сблизятся до расстояния r = 100 м?

4.3 Найти силу Силы тяготения. Гравитационное поле F обоюдного притяжения 2-ух соприка­сающихся стальных шаров поперечником d = 20 см каждый.

4.4. На какой высоте h над поверхностью Земли напряженность gh гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли считать известным.

4.5. Ракета, пущенная вертикально ввысь, поднялась на высоту h=3200 км и начала падать. Какой путь s пройдет ракета за первую секунду Силы тяготения. Гравитационное поле собственного падения?

4.6. Радиус R планетки Марс равен 3,4 Мм, ее масса М = 6,4·1023 кг. Найти напряженность g гравитационного поля на поверхности Марса.

4.7. Радиус Земли в n=3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в k=1,66 раза больше средней плотности Луны. Найти ускорение свободного падения gЛ на поверхности Луны, если Силы тяготения. Гравитационное поле на поверхности Земли ускорение свободного падения g считать известным.

4.8. Радиус R малой планетки равен 250 км, средняя плотность ρ=3 г/см3. Найти ускорение свободного падения g на поверх­ности планетки.

4.9. Масса Земли в n=81,6 раза больше массы Луны. Расстояние l меж центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R — радиус Земли). На каком Силы тяготения. Гравитационное поле расстоянии r (в единицах R) от центра Земли на­ходится точка, в какой суммарная напряженность гравитацион­ного поля Земли и Луны равна нулю?

4.10. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по ок­ружности на высоте h=3,6 Мм. Найти линейную скорость v спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на Силы тяготения. Гравитационное поле поверхности Земли считать известными.

4.11. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен

2 ч. Считая орбиту спутника радиальный, отыскать, на какой высоте А над поверхностью Земли движется спутник.

4.12. Стационарный искусственный спутник движется по окруж­ности в плоскости земного экватора, оставаясь всегда над одним и этим же пт земной поверхности. Найти угловую ско Силы тяготения. Гравитационное поле­рость ω спутника и радиус R его орбиты.

4.13. Планетка Нептун в k=30 раз далее от Солнца, чем Земля. Найти период Т воззвания (в годах) Нептуна вокруг Солнца.

4.14. Луна движется вокруг Земли со скоростью υ1=1,02 км/с. Среднее расстояние l Луны от Земли равно 60,3 R (R — радиус Земли). Найти по Силы тяготения. Гравитационное поле этим данным, с какой скоростью υ2 должен двигаться искусственный спутник, крутящийся вокруг Земли на малозначительной высоте над ее поверхностью.

4.15. Зная среднюю скорость υ1 движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), найти, с какой средней скоростью υ2 движется малая планетка, радиус орбиты которой в n=4 раза больше радиуса орбиты Земли.

4.16. Русская галлактическая ракета, ставшая Силы тяготения. Гравитационное поле первой искусствен­ной планеткой, обращается вокруг Солнца по эллипсу. Меньшее расстояние rmin ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстоя­ние rmax равно 1,31 а. е. (среднего расстояния Земли от Солнца). Найти период Т вращения (в годах) искусственной планетки.

4.17. Галлактическая ракета движется вокруг Солнца по орбите, практически совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного устройства Силы тяготения. Гравитационное поле ракета стремительно теряет скорость и начинает падать на Солнце (рис. 4.6). Найти время t, в течение которого будет падать ракета.

Указание. Принять, что, падая на Солнце, ракета движется по эллипсу, большая ось которого сильно мало отличается от радиуса орбиты Земли, а эксцентриситет — от единицы. Период воззвания по эллипсу не Силы тяготения. Гравитационное поле находится в зависимости от эксцентриситета.

4.18. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь во­круг Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее расстоя­ние r планетки Марс от Солнца равно 1,5 а. е. В течение какого вре­мени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?

4.19. Искусственный спутник движется Силы тяготения. Гравитационное поле вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом ε=0,5. Во сколько раз линейная скорость спут­ника в перигее (наиблежайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (более удаленная точка орбиты)?

Указание. Применить закон сохранения момента импульса.

Рис. 4.6 Рис. 4.7

4.20. Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с эксцентриси­тетом ε=0,6. Во сколько раз Силы тяготения. Гравитационное поле линейная скорость кометы в наиблежайшей к Солнцу точке орбиты больше, чем в более удаленной?

4.21. Ближний спутник Марса находится на расстоянии r=9,4 Мм от центра планетки и движется вокруг нее со скоростью υ=2,1 км/с. Найти массу М Марса.

4.22. Найти массу М Земли по среднему расстоянию r от центра Луны Силы тяготения. Гравитационное поле до центра Земли и периоду Т воззвания Луны вокруг Земли (Т и r cчитать известными).

4.23. Один из спутников планетки Сатурн находится приблизи­тельно на таком же расстоянии r от планетки, как Луна от Земли, но период Т его воззвания вокруг планетки практически в n=10 раз мень­ше, чем у Луны. Найти Силы тяготения. Гравитационное поле отношение масс Сатурна и Земли.

4.24. Отыскать зависимость ускорения свободного падения g от расстояния r, отсчитанного от центра планетки, плотность ρ которой можно считать для всех точек схожей. Выстроить график зави­симости g (r). Радиус R планетки считать известным.

4.25. Тело массой m=1 кг находится на поверхности Земли. Найти изменение ΔР силы тяжести Силы тяготения. Гравитационное поле для 2-ух случаев: 1) при подъеме тела на высоту h=5 км; 2) при опускании тела в шахту на глубину h=5 км. Землю считать однородным шаром радиусом R=6,37 Мм и плотностью ρ =5,5 г/см3.

4.26. Найти работу A, которую совершат силы гравитаци­онного поля Земли, если тело массой m=1 кг свалится на Силы тяготения. Гравитационное поле поверхность Земли: 1) с высоты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными.

4.27. На какую высоту h над поверхностью Земли подымется ракета, пущенная вертикально ввысь, если исходная скорость υ ракеты равна первой галлактической скорости?

4.28. Найти значения потенциала φ гравитационного поля Силы тяготения. Гравитационное поле на поверхностях Земли и Солнца.

4.29. Вычислить значения первой (радиальный) и 2-ой (параболи­ческой) галлактических скоростей поблизости поверхности Луны.

4.30. Отыскать первую и вторую галлактические скорости поблизости поверхности Солнца.

4.31. Радиус R малой планетки равен 100 км, средняя плотность ρ вещества планетки равна 3 г/см3. Найти параболическую ско­рость υ2 у поверхности этой планетки.

4.32. Какова будет Силы тяготения. Гравитационное поле скорость v ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с исходной скоростью υ0= 10 км/с? Сопротивление воздуха не учесть. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать извест­ными.

4.33. Ракета пущена с Земли с исходной скоростью υо=15 км/с. К какому лимиту будет Силы тяготения. Гравитационное поле стремиться скорость ракеты, если расстоя­ние ракеты от Земли нескончаемо возрастает? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, не считая Земли, не учи­тывать.

4.34. Метеор падает на Солнце с очень огромного расстояния, которое фактически можно считать нескончаемо огромным. Исходная скорость метеора пренебрежимо мала. Какую скорость υ будет иметь метеор в момент Силы тяготения. Гравитационное поле, когда его расстояние от Солнца равна среднему расстоянию Земли от Солнца?

4.35. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую мож­но считать параболической. С какой скоростью υ движется комета, когда она проходит через перигей (ближайшую к Солнцу точку собственной орбиты), если расстояние r кометы от Солнца в этот момент равно Силы тяготения. Гравитационное поле 50 Гм?

4.36. На высоте h=2,6Мм над поверхностью Земли галлактической ракете была сообщена скорость υ=10 км/с, направленная перпенди­кулярно полосы, соединяющей центр Земли с ракетой. По какой орбите относительно Земли будет двигаться ракета? Найти вид конического сечения.


silnaya-bol-v-zhivotesoputstvuyushie-simptomi.html
silnie-chuvstva-iz-detskoj-komnati.html
silnie-i-slabie-storoni-modeli-artur-d-littl-adllc.html